111. Точки H, G, F, S — середины рёбер MN, ML, LK, KN треугольной пирамиды MKLN (рис. 160). Найдите периметр четырёхугольника HGFS, учитывая, что LN = 18 мм, MK = 22 мм.

Дано: MKLNMKLN — треугольная пирамида, HH — середина MN,MN, GG — середина ML,ML, FF — середина LK,LK, SS — середина KN,KN, LN=18LN=18 мм, MK=22MK=22 мм.

Найти: PHGFS.P_{HGFS}.

Решение:

1) HH — середина MNMN и SS — середина NK,NK, значит HSHS — средняя линия MNK.\triangle MNK. По свойству средней линии HSMK.HS\parallel MK.

GG — середина MLML и FF — середина KL,KL, значит GFGF — средняя линия MKL.\triangle MKL. По свойству средней линии GFMK.GF\parallel MK.

HH — середина MNMN и GG — середина ML,ML, значит HGHG — средняя линия MNL.\triangle MNL. По свойству средней линии HGNL.HG\parallel NL.

SS — середина NKNK и FF — середина KL,KL, значит SFSF — средняя линия NKL.△NKL. По свойству средней линии SFNL.SF\parallel NL.

2) HSMKHS\parallel MK и GFMK,GF\parallel MK, значит HSGF.HS\parallel GF.

HGNLHG\parallel NL и SFNL,SF\parallel NL, значит HGSF.HG\parallel SF.

3) HSGFHS\parallel GF и HGSF,HG\parallel SF, значит HGFSHGFS — параллелограмм.

4) По свойству стороны параллелограмма HG=SF=12NL=1218=9(мм);HG=SF=\dfrac{1}{2}NL=\dfrac{1}{2}\cdot 18=9\,(мм);

HS=GF=12MK=122211(мм);HS=GF=\dfrac{1}{2}MK=\dfrac{1}{2}\cdot 22\cdot 11\,(мм);

PHGFS=(HG+HS)2=(9+11)2=40(мм).P_{HGFS}=(HG+HS)\cdot 2=(9+11)\cdot 2=40\,(мм).

Ответ: 40 мм.