110. Точки M, N, U, V — соответственно середины рёбер AC, AD, BD, BC треугольной пирамиды ABCD (рис. 159). Найдите периметр четырёхугольника MNUV, учитывая, что AB = 20 см, CD = 30 см.

Дано: ABCDABCD — треугольная пирамида, MM — середина AC,AC, NN — середина AD,AD, UU — середина DB,DB, VV — середина BC,BC, AB=20AB=20 см, CD=30CD=30 см.

Найти: PMNUV.P_{MNUV}.

Решение:

1) MM — середина ACAC и VV — середина BC,BC, значит MVMV — средняя линия ABC.\triangle ABC. Следовательно MVAB.MV\parallel AB.

NN — середина ADAD и UU — середина BD,BD, значит NUNU — средняя линия ABD.\triangle ABD. Следовательно NUAB.NU\parallel AB.

MVABMV\parallel AB и NUAB,NU\parallel AB, значит MVNU.MV\parallel NU.

MM — середина ACAC и NN — середина AD,AD, значит MNMN — средняя линия ACD.\triangle ACD. Следовательно MNCD.MN\parallel CD.

VV — середина BCBC и UU — середина BD,BD, значит VUVU — средняя линия BCD.\triangle BCD. Следовательно VUCD.VU\parallel CD.

2) MNCDMN\parallel CD и VUCD,VU\parallel CD, значит MNVU.MN\parallel VU.

MVNUMV\parallel NU и MNNU,MN\parallel NU, значит MNUVMNUV — параллелограмм.

3) MV=NU=12AB=1220=10(см);MV=NU=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\cdot 20=10\,(см);

MN=UV=12CD=1230=15(см);MN=UV=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}\cdot 30=15\,(см);

PMNKV=(MN+NU)2=(10+15)2=50(см).P_{MNKV}=\left( MN+NU\right) \cdot 2=(10+15)\cdot 2=50\,(см).

Ответ: 50 см.