109. На отрезке AB, конец A которого принадлежит плоскости α, выбрана точка C, и через точки B и C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках B1 и C1 соответственно. Найдите отрезок CC1, учитывая, что:

а) точка C — середина отрезка AB и BB1 = 14 см;

б) AC : CB = 3 : 2 и BB1 = 50 см.

а)

Дано: Aα,CAB,CC1α=C1,BB1α=B1,CC1BB1,BB1=14A\in \alpha, C\in AB, CC_1\cap \alpha=C_1, BB_1\cap \alpha = B_1, CC_1\parallel BB_1, BB_1=14 см, CC — середина AB.AB.

Найти: CC1.CC_1.

Решение:

1) Параллельные прямые CC1CC_1 и BB1BB_1 задают плоскость (ABB1).(ABB_1).

(ABB1)α=AB1.(ABB_1)\cap \alpha = AB_1.

Поэтому точки A,C1A, C_1 и B1B_1 лежат на одной прямой.

2) Т.к. CC — середина ABAB и CC1BB1,CC_1\parallel BB_1, то C1C_1 — середина AB1.AB_1. Значит, CC1CC_1 — средняя линия ABB1.\triangle ABB_1. По свойству средней линии CC1=12BB1=1214=7(см).CC_1=\dfrac{1}{2}BB_1=\dfrac{1}{2}\cdot 14=7\,(см).

Ответ: 7 см.

б)

Дано: Aα,CAB,CC1α=C1,BB1α=B1,CC1BB1,BB1=50см,AC:CB=3:2.A\in\alpha, C\in AB, CC_1\cap \alpha=C_1, BB_1\cap \alpha =B_1, CC_1\parallel BB_1, BB_1=50\,см, AC:CB=3:2.

Найти: CC1.CC_1.

Решение:

1) Рассмотрим ACC1\triangle ACC_1 и ABB1.\triangle ABB_1.

A\angle A — общей,

AC1C=AB1B\angle AC_1C=\angle AB_1B как соответственные при CC1BB1CC_1\parallel BB_1 и секущей AB1.AB_1.

Следовательно ACC1\triangle ACC_1 подобен ABB1\triangle ABB_1 по двум углам.

2) ACAB=CC1BB1;\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CC_1}{BB_1};

35=CC150;\dfrac{3}{5}=\dfrac{CC_1}{50};

CC1=3505=310=30(см).CC_1=\dfrac{3\cdot 50}{5}=3\cdot 10=30\,(см).

Ответ: 30 см.