108. Точка E является точкой отрезка TR, который не пересекает плоскость γ. Параллельные прямые, проведённые через точки T, R, E, пересекают плоскость γ в точках T1, R1, E1 соответственно. Докажите, что точки T1, R1, E1 лежат на одной прямой, и найдите отрезок EE1, учитывая, что TT1 = 27 см, RR1 = 15 см, TE : RE = 1 : 3.

Дано: ETR,TT1EE1RR1,TT1γ=T1,EE1γ=E1,RR1γ=R1,TT1=27см,RR1=15см,TE:RE=1:3,aγE\in TR, TT_1\parallel EE_1\parallel RR_1, TT_1\cap γ=T_1, EE_1\cap γ =E_1, RR_1\cap γ = R_1, TT_1=27\,см, RR_1=15\,см, TE:RE=1:3, a\subset γ.

Доказать: T1a,E1a,R1a.T_1\in a, E_1 \in a, R_1\in a.

Найти: EE1.EE_1.

Решение:

1) Прямые TT1EE1RR1TT_1\parallel EE_1\parallel RR_1 задают плоскость (TRR1),(TRR1)γ=a.(TRR_1), (TRR_1)\cap γ=a. Следовательно T1,E1T_1, E_1 и R1R_1 лежат на прямой a.a.

2) Проведём прямую RHR1T1.RH\parallel R_1T_1. Т.к. TT1RR1TT_1\parallel RR_1 и HT1RR1,HT_1\parallel RR_1, то T1R1RHT_1R_1RH — параллелограмм по определению. По свойству сторон параллелограмма HT1=RR1HT_1=RR_1 и HR=T1R1.HR=T_1R_1.

TH=TT1HT1=TT1RR1=271512(см).TH=TT_1-HT_1=TT_1-RR_1=27-15-12\,(см).

3) EE1HR=O.EE_1\cap HR=O.

Рассмотрим ROE\triangle ROE и RHT.\triangle RHT.

R\angle R — общий,

EOR=THR\angle EOR=\angle THR как соответственные при THEOTH\parallel EO и секущей HR.HR.

Следовательно ROE\triangle ROE подобен RHT\triangle RHT по двум углам.

4) RERT=EOTH;\dfrac{RE}{RT}=\dfrac{EO}{TH};

34=EO12;\dfrac{3}{4}=\dfrac{EO}{12};

EO=3124=9(см).EO=\dfrac{3\cdot 12}{4}=9\,(см).

5) EE1=EO+OE1=9+15=24(см),EE_1=EO+OE_1=9+15=24\,(см), т.к. OE1R1ROE_1R_1R — параллелограмм и OE1=RR1.OE_1=RR_1.

Ответ: 24 см.