33. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через противолежащий ему катет и противолежащую этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Определите, какую часть от площади боковой поверхности призмы составляет площадь сечения.

Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA1B1C1,ABCA_1B_1C_1, в основании которой лежит ΔACB,\Delta ACB, в котором ACB=90°,ABC=φ.\angle ACB=90°, \angle ABC=\varphi.

Построим сечение ACB1,ACB_1, которое проходит через катет AC,AC, противоположный ABC,\angle ABC, и противолежащую вершину B1.B_1. Поскольку BCBC — проекция B1CB_1C на плоскость основания и BCAC,BC\perp AC, то по обратной теореме о трёх перпендикулярах B2CAC,B_2C\perp AC, а по определению угла между плоскостями B1CB\angle B_1CB — линейный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию задачи  B1CB=β.\angle B_1CB=\beta.

Пусть AC=a.AC=a. Тогда с прямоугольного ΔABC,\Delta ABC, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

BC=ACtgφ=atgφ;BC=\dfrac{AC}{\tg\varphi}=\dfrac{a}{\tg\varphi};

AB=ACsinφ=asinφ.AB=\dfrac{AC}{\sin\varphi}=\dfrac{a}{\sin\varphi}.

C прямоугольного ΔCBB1,\Delta CBB_1, применяя соотношения между его сторонами, получаем:

BB1=BCtgβ=atgβtgφ;BB_1=BC\cdot \tg\beta=\dfrac{a\cdot \tg\beta}{\tg\varphi};

CB1=BCcosβ=atgφcosβ.CB_1=\dfrac{BC}{\cos\beta}=\dfrac{a}{\tg\varphi\cdot \cos\beta}.

Вычисляем площадь сечения:

SACB1=12ACCB1=12aatgφcosβ=a22tgφcosβ.S_{ACB_1}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot CB_1=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{a}{\tg\varphi\cdot \cos\beta}=\dfrac{a^2}{2\tg\varphi\cdot \cos\beta}.

Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро:

Sбок=(AC+BC+AB)BB1;S_{бок}=(AC+BC+AB)\cdot BB_1;

Sбок=(a+atgφ+asinφ)atgβtgφ=(1+1tgφ+1sinφ)a2tgβtgφ.S_{бок}=\left( a+\dfrac{a}{\tg\varphi}+\dfrac{a}{\sin\varphi}\right)\dfrac{a\cdot \tg\beta}{\tg\varphi}=\left(1+\dfrac{1}{\tg\varphi}+\dfrac{1}{\sin\varphi}\right)\dfrac{a^2\cdot \tg\beta}{\tg\varphi}.

Определяем, какую часть от площади боковой поверхности призмы составляет площадь сечения:

SACB1Sбок=a22tgφcosβ(1+1tgφ+1sinφ)2a2tgβtgφ=12cosβ(1+ctgφ+1sinφ)tgβ=1ssinβ(1+ctgφ+1sinφ).\dfrac{S_{ACB_1}}{S_{бок}}=\dfrac{\dfrac{a^2}{2\tg\varphi\cdot \cos\beta}}{\left( 1+\dfrac{1}{\tg\varphi}+\dfrac{1}{\sin\varphi}\right)^2\dfrac{a^2\cdot \tg\beta}{\tg\varphi}}=\dfrac{\dfrac{1}{2\cdot \cos\beta}}{\left(1+\ctg\varphi+\dfrac{1}{\sin\varphi}\right) \tg\beta}=\dfrac{1}{s\sin\beta\cdot \left(1+\ctg\varphi +\dfrac{1}{\sin\varphi}\right)}.

Ответ: 1ssinβ(1+ctgφ+1sinφ).\dfrac{1}{s\sin\beta\cdot \left(1+\ctg\varphi +\dfrac{1}{\sin\varphi}\right)}.