19. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 8 см, а сторона основания — 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которая проходит через: а) боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек; б) три вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Решение:

а) Построим заданное сечение, которое проходит через боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек.

По теореме о медиане равнобедренного треугольника MBAC.MB\perp AC. Тогда с прямоугольного ΔABM,\Delta ABM, учитывая теорему Пифагора, получаем:

MB=BC2MC2;MB=\sqrt{BC^2-MC^2};

MB=4222=164=23(см).MB=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\,(см).

ΔABC=ΔA1B1C1\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1 как основания призмы, поэтому их соответствующие медианы равны:

MB=M1B1=23см.MB=M_1B_1=2\sqrt{3}\,см.

Поскольку призма правильная, то боковые рёбра перпендикулярны её основаниям, поэтому построенное сечение — прямоугольник. Найдём его площадь:

SMM1B1B=MBBB1=238=163(см2).S_{MM_1B_1B}=MB\cdot BB_1=2\sqrt{3}\cdot 8=16\sqrt{3}\,(см^2).

б) Построим заданное сечение, которое проходит через три вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

С прямоугольного ΔCBB1\Delta CBB_1 по теореме Пифагора, получаем:

CB12=CB2+BB12;CB_1^2=CB^2+BB_1^2;

CB12=CB2+BB12=42+82=80(см2).CB_1^2=CB^2+BB_1^2=4^2+8^2=80\,(см^2).

ΔA1AC=ΔB1BC\Delta A_1AC=\Delta B_1BC по двум катетам, поэтому CA1=CB1CA_1=CB_1 и ΔA1B1C\Delta A_1B_1C — равнобедренный. Построим его высоту CD.CD. По теореме о медиане равнобедренного треугольника имеем:

A1DB1D=A1B12=42=2(см).A_1D-B_1D=\dfrac{A_1B_1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\,(см).

С прямоугольного ΔCDB1,\Delta CDB_1, учитывая теорему Пифагора, находим высоту:

CD=CB12B1D2=8022=76=219(см).CD=\sqrt{CB_1^2-B_1D^2}=\sqrt{80-2^2}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\,(см).

Найдём площадь сечения:

SA1B1C=12A1B1CD;S_{A_1B_1C}=\dfrac{1}{2}A_1B_1\cdot CD;

SA1B1C=124219=419(см2).S_{A_1B_1C}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\cdot \sqrt{19}=4\sqrt{19}\,(см^2).

Ответ: а) 163см2;16\sqrt{3}\,см^2; б) 419см2.4\sqrt{19}\,см^2.