15. Основанием ABCD наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат с центром О и стороной 2 см. Найдите боковое ребро призмы, учитывая, что A1О = √2 см, а расстояние между плоскостями оснований равно √2 см.

Решение:

Поскольку расстояние между плоскостями оснований есть минимальным расстоянием между точками этих плоскостей и по условию задачи равно 2см,\sqrt{2}\,см, а точки A1A_1 и OO лежат в этих плоскостях и расстояние между ними также равно 2см,\sqrt{2}\,см, то A1O(ABCD)A_1O\perp (ABCD) и есть расстоянием между плоскостями оснований наклонной призмы (см. рис.).

AO=122AD=1222=2смAO=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2=\sqrt{2}\,см — как половина диагонали квадрата.

С прямоугольного ΔAOA1,AOA1=90°\Delta AOA_1, \angle AOA_1=90° по теореме Пифагора, получаем:

AA12=AO2+A1O2;AA_1^2=AO^2+A_1O^2;

AA1=AO2+A1O2=(22+(2)2=2(см).AA_1=\sqrt{AO^2+A_1O^2}=\sqrt{(\sqrt{2}^2+(\sqrt{2})^2}=2\,(см).

Ответ: AA1=2см.AA_1=2\,см.