7. Имеются два колебательных контура. Один содержит конденсатор емкостью C_1 = 240 мФ и катушку индуктивностью L_1 = 10,0 мГн, второй — C_2 = 260 мФ и L_2 = 6,00 мГн. Настроены ли эти контуры в резонанс? Во сколько раз k необходимо изменить емкость C_2 или индуктивность L_2, чтобы настроить эти контуры в резонанс?

Дано:

C1=240мФ=0.24Ф;C_1=240\,мФ=0.24\,Ф;

L1=10.0мГн=1010.03Гн;L_1=10.0\,мГн=10\cdot 10.0^{-3}\,Гн;

C2=260мФ=0.26Ф;C_2=260\,мФ=0.26\,Ф;

L2=6.00мГн=6.00103Гн.L_2=6.00\,мГн=6.00\cdot 10^{-3}\,Гн.

Найти:

T1?T_1-?

T2?T_2-?

k?k-?

Решение:

Согласно формуле Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре:

T1=2πL1C1,T_1=2\pi\sqrt{L_1C_1},

T2=2πL2C2.T_2=2\pi\sqrt{L_2C_2}.

Выполним расчет периодов колебаний в заданных контурах:

T1=6.28101030.240.307с;T_1=6.28\sqrt{10\cdot 10^{-3}\cdot 0.24}\approx 0.307\,с;

T2=6.2861030.260.248с.T_2=6.28\sqrt{6\cdot 10^{-3}\cdot 0.26}\approx 0.248\,с.

Т.к. T1T2,T_1\ne T_2, то контуры не настроены в резонанс. Для выполнения условия резонанса при одновременном изменении индуктивности катушки и ёмкости конденсатора нужно, чтобы:

L1C1L2C2=kL2kC2=k2L2C2.L_1C_1-L_2C_2=kL_2kC_2=k^2L_2C_2.

Отсюда найдём k:k:

k=L1C1L2C2=101030.2461030.261.24.k=\sqrt{\dfrac{L_1C_1}{L_2C_2}}=\sqrt{\dfrac{10\cdot 10^{-3}\cdot 0.24}{6\cdot 10^{-3}\cdot 0.26}}\approx 1.24.

Ответ: контуры не настроены в резонанс; увеличить оба значения в 1.24 раза.

*Примечание. В условии задачи звучит вопрос «Во сколько раз kk необходимо изменить емкость C2C_2 или индуктивность L2L_2», который подразумевает, что изменить значения нужно не оба, а одно из них: либо C2,C_2, либо L2L_2. Однако при вычислении мы получаем ответ, который не совпадает с ответом в учебнике.

Если изменяется только одно значение, то условие резонанса выглядит так:

L1C1=L2C2=kL2C2.L_1C_1=L_2C_2=kL_2C_2.

Тогда kk равно:

k=L1C1L2C2=101030.2461030.261.54.k=\dfrac{L_1C_1}{L_2C_2}=\dfrac{10\cdot 10^{-3}\cdot 0.24}{6\cdot 10^{-3}\cdot 0.26}\approx 1.54.