4. Какой должна быть длина l математического маятника, подвешенного в вагоне, чтобы он раскачивался наиболее сильно при движении вагона со скоростью, модуль которой v = 67,5 км/ч? Расстояние между стыками рельсов L = 12,5 м.

Дано:

v=67.5км/ч=18.75м/с;v=67.5\,км/ч=18.75\,м/с;

L=12.5м.L=12.5\,м.

Найти:

l?l-?

Решение:

Математический маятник, находящийся в поезде, будет особенно сильно раскачиваться (т.е. будет происходить резонанс), когда внешнее воздействие на вагон, возникающее в результате тряски вагона при переезде через стык между рельсами, будет происходить с периодом, равным собственному периоду колебаний маятника. Время, за которое поезд пройдет расстояние между двумя соседними стыками, вычислим по формуле формуле:

T=lv.T=\dfrac{l}{v}.

Период колебаний математического маятника найдём по формуле Гюйгенса:

T=2πlg,T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}},

где ll — длина маятника, g=9.8м/сg=9.8\,м/с — ускорение свободного падения.

Приравняем формулы:

Lv=2πlg.\dfrac{L}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.

Найдём l:l:

(Lv)2=4π2lg;\left(\dfrac{L}{v}\right)^2=4\pi^2\dfrac{l}{g};

L2v2=4π2lg;\dfrac{L^2}{v^2}=\dfrac{4\pi^2l}{g};

L2g=4π2lv2;L^2g=4\pi^2lv^2;

l=L2g4π2v2;l=\dfrac{L^2g}{4\pi^2v^2};

l=12.529.843.14218.752=0.11м=11см.l=\dfrac{12.5^2\cdot 9.8}{4\cdot 3.14^2\cdot 18.75^2}=0.11\,м=11\,см.

Ответ: 11см.11\,см.