8. Определите полную механическую энергию W_мех гармонических колебаний материальной точки, если известны ее масса m, частота v и амплитуда A колебаний.

Дано:

m;m;

v;v;

A.A.

Найти:

Wмех?W_{мех}-?

Решение:

По закону сохранения полной механической энергии, полная энергия колебаний равна максимальной потенциальной энергии колебаний:

Wмех=kA22.W_{мех}=\dfrac{kA^2}{2}.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

ω=km.\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Циклическая частота связана с частотой колебаний соотношением ω=2πν.\omega=2\pi \nu.

Приравняем последние выражения, чтобы найти коэффициент упругости пружины:

2πν=km;2\pi \nu=\sqrt{\dfrac{k}{m}};

4π2ν2=km;4\pi^2 \nu^2=\dfrac{k}{m};

k=4π2ν2m.k=4\pi^2 \nu^2 m.

Подставим коэффициент упругости в первую формулу и найдём полную механическую энергию колебаний:

Wмех=4πν2mA22;W_{мех}=\dfrac{4\pi \nu^2 mA^2}{2};

Wмех=2π2ν2A2m.W_{мех}=2\pi^2 \nu^2 A^2 m.

Ответ: Wмех=2π2ν2A2m.W_{мех}=2\pi^2 \nu^2 A^2 m.