7. Пружинный маятник, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, вывели из положения равновесия и без толчка отпустили. Через какую часть п периода Т кинетическая энергия прикрепленного к пружине тела будет равна потенциальной энергии W_п деформированной пружины?

Дано:

T;T;

Wк=Wп;W_к=W_п;

Найти:

n?n-?

Решение:

Запишем общий вид уравнения гармонических колебаний пружинного маятника:

x(t)=Acos(ωt+φ0).x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0).

По условию задачи отклонение в начальный момент времени равно амплитуде колебаний. Запишем уравнение колебаний для начального момента времени и найдём начальную фазу колебаний:

A=Acos(ω0+φ0);A=A\cos(\omega\cdot 0+\varphi_0);

cosφ0=1;\cos\varphi_0=1;

φ0=0.\varphi_0=0.

Тогда уравнения гармонических колебаний пружинного маятника примет вид:

x(t)=Acosωt.x(t)=A\cos\omega t.

Полную энергию колебаний вычислим по формуле:

Wмех=kA22.W_{мех}=\dfrac{kA^2}{2}.

Кинетическую энергию для момента времени, в который определяется потенциальная энергия, вычислим по формуле:

Wк=WмехWп;W_к=W_{мех}-W_п;

Wк=kA22kx22.W_к=\dfrac{kA^2}{2}-\dfrac{kx^2}{2}.

По условию задачи Wк=Wп,W_к=W_п, тогда

kA22kx22=kx22;\dfrac{kA^2}{2}-\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2};

kA22=kx2;\dfrac{kA^2}{2}=kx^2;

x2=A22;x^2=\dfrac{A^2}{2};

x=A2.x=\dfrac{A}{\sqrt{2}}.

Подставим xx в уравнение гармонических колебаний маятника:

A2=Acosωt;\dfrac{A}{\sqrt{2}}=A\cos\omega t;

cosωt=12;\cos\omega t =\dfrac{1}{\sqrt{2}};

ωt=π4.\omega t =\dfrac{\pi}{4}.

Учитывая, что циклическая частота вычисляется по формуле ω=2πT,\omega=\dfrac{2\pi}{T}, получим:

2πTt=π4;\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{\pi}{4};

tT=18;\dfrac{t}{T}=\dfrac{1}{8};

n=tT=18.n=\dfrac{t}{T}=\dfrac{1}{8}.

Ответ: n=18.n=\dfrac{1}{8}.