6. Груз массой m = 100 г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, закреплен на пружине жесткостью k = 100 Н/м , прикрепленной к опоре. Его смещают из положения равновесия на расстояние х_1 = 5,0 см и сообщают ему в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой v_1 = 1,0 м/с. Чему равны потенциальная W_п и кинетическая W_к энергия груза в этот момент времени? Запишите кинематический закон его движения.

Дано:

m=100г=0.1кг;m=100\,г=0.1\,кг;

k=100Нм;k=100\,\dfrac{Н}{м};

x1=5.0см=0.05м;x_1=5.0\,см=0.05\,м;

v1=1.0мс.v_1=1.0\,\dfrac{м}{с}.

Найти:

Wп?W_п-?

Wк?W_к-?

x(t)?x(t)-?

Решение:

Потенциальная энергия груза в начальный момент времени вычисляется по формуле:

Wп=kx122.W_п=\dfrac{kx^2_1}{2}.

Вычислим:

Wп=1000.0522=0.125Дж0.13Дж.W_п=\dfrac{100\cdot 0.05^2}{2}=0.125\,Дж\approx 0.13\,Дж.

Вычислим кинетическую энергию груза в начальный момент времени:

Wк=mv122.W_к=\dfrac{mv^2_1}{2}.

Wк=0.11.022=0.05Дж=50мДж.W_к=\dfrac{0.1\cdot 1.0^2}{2}=0.05\,Дж=50\,мДж.

По закону сохранения полной механической энергии найдём полную энергию колебаний груза на пружине:

W=Wк+Wп.W=W_к+W_п.

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии колебаний:

W=kA22.W=\dfrac{kA^2}{2}.

Приравняем два последних уравнения и найдём амплитуду колебаний тела на пружине:

kA22=Wк+Wп;\dfrac{kA^2}{2}=W_к+W_п;

A2=2(Wк+Wп)k;A^2=\dfrac{2(W_к+W_п)}{k};

A=2(Wк+Wп)k.A=\sqrt{\dfrac{2(W_к+W_п)}{k}}.

Подставим значения физических величин и вычислим амплитуду колебаний:

A=2(0.05+0.125)100=0.06м=6см.A=\sqrt{\dfrac{2\cdot (0.05+0.125)}{100}}=0.06\,м=6\,см.

Кинетический закон движения тела на пружине имеет вид:

x(t)=Asin(ωt+φ0),x(t)=A\sin(\omega t + \varphi_0),

где ω=km\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}} — циклическая частота колебаний тела на пружине, kk — коэффициент упругости пружины, mm — масса груза, φ0\varphi_0 — начальная фаза колебаний.

Вычислим циклическую частоту колебаний:

ω=1000.1=32радс.\omega=\sqrt{\dfrac{100}{0.1}}=32\,\dfrac{рад}{с}.

Запишем кинетический закон движения тела на пружине для начального момента времени и вычислим начальную фазу колебаний:

x1=Asin(ω0+φ0);x_1=A\sin(\omega\cdot 0+\varphi_0);

sinφ0=x1A;\sin\varphi_0=\dfrac{x_1}{A};

φ0=arcsin0.050.06=56°.\varphi_0=\arcsin\dfrac{0.05}{0.06}=56°.

Вычислим x(t):x(t):

x(t)=6sin(32t+56°)(см).x(t)=6\cdot \sin(32t+56°)\, (см).

Ответ: Wп=0.13Дж;Wк=50мДж;x(t)=6sin(32t+56°)(см).W_п=0.13\,Дж; W_к=50\,мДж; x(t)=6\cdot \sin(32t+56°)\, (см).