4. Тело совершает гармонические колебания. Определите отношение кинетической энергии к ее потенциальной энергии для моментов времени, когда смещение тела от положения равновесия составляет: а) x = A/2; б) x = 3A/4; в) x = A.

Дано:

а)x=A2;а)\, x=\dfrac{A}{2};

б)x=3A4;б)\, x=\dfrac{3A}{4};

в)x=A.в)\, x=A.

Найти:

WкWп?\dfrac{W_к}{W_п}-?

Решение:

Вычислим потенциальную энергию по формуле:

Wп=kx22,W_п=\dfrac{kx^2}{2},

где kk — коэффициент упругости пружинного маятника, xx — коэффициент упругости пружинного маятника.

Полная энергия колебаний вычисляется по формуле:

Wмех=kA22.W_{мех}=\dfrac{kA^2}{2}.

Кинетическая энергия для момента времени, в который определяется потенциальная энергия, вычисляется по формуле:

Wк=WмехWп;W_к=W_{мех}-W_п;

Wк=kA22kx22;W_к=\dfrac{kA^2}{2}-\dfrac{kx^2}{2};

Wк=k(A2x2)2.W_к=\dfrac{k(A^2-x^2)}{2}.

Найдём отношение кинетической энергии к потенциальной:

WкWп=k(A2x2)2:kx22;\dfrac{W_к}{W_п}=\dfrac{k(A^2-x^2)}{2}:\dfrac{kx^2}{2};

WкWп=k(A2x2)22kx2;\dfrac{W_к}{W_п}=\dfrac{k(A^2-x^2)}{2}\cdot \dfrac{2}{kx^2};

WкWп=k(A2x2)kx2;\dfrac{W_к}{W_п}=\dfrac{k(A^2-x^2)}{kx^2};

WкWп=A2x2x2;\dfrac{W_к}{W_п}=\dfrac{A^2-x^2}{x^2};

WкWп=(Ax)21.\dfrac{W_к}{W_п}=\left(\dfrac{A}{x}\right)^2-1.

а) при x=A2x=\dfrac{A}{2} получим:

WкWп=(AA2)21=221=3.\dfrac{W_к}{W_п}=\left(\dfrac{A}{\dfrac{A}{2}}\right)^2-1=2^2-1=3.

б) при x=3A2x=\dfrac{3A}{2} получим:

WкWп=(A3A4)21=(43)21=790.78.\dfrac{W_к}{W_п}=\left(\dfrac{A}{\dfrac{3A}{4}}\right)^2-1=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-1=\dfrac{7}{9}\approx0.78.

в) при x=Ax=A получим:

WкWп=(AA)21=121=0.\dfrac{W_к}{W_п}=\left(\dfrac{A}{A}\right)^2-1=1^2-1=0.

Ответ: а)3;б)0.78;в)0.а)\, 3; б)\, 0.78; в)\, 0.