6. Один математический маятник совершил за некоторое время N_1 = 20 колебаний, а второй за то же время совершил N_2 = 16 колебаний. Определите длину l_2 второго маятника, если известно, что разность длин маятников Δl = 10 см.

Дано:

t1=t2=t;t_1=t_2=t;

N1=20;N_1=20;

N2=16;N_2=16;

Δl=10см=0.1м.\Delta l=10\,см=0.1\,м.

Найти:

l2?l_2-?

Решение:

Период колебаний математического маятника вычислим по формуле:

T=2πlg,T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}},

где ll — длина математического маятника, g=9.8мс2g=9.8\dfrac{м}{с^2} — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Период колебаний вычислим по формуле:

T=tN,T=\dfrac{t}{N},

где tt — время, в течении которого происходит NN колебаний.

Приравнивая эти периоды получим:

tN=2πlg.\dfrac{t}{N}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.

Возведём в квадрат обе части последнего уравнения и найдём длину маятника:

t2N2=4π2lg;\dfrac{t^2}{N^2}=4\pi^2\dfrac{l}{g};

l=gt24π2N2.l=\dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2}.

Запишем формулу длины маятника для каждого маятника:

l1=gt24π2N12;l_1=\dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2_1};

l2=gt24π2N22.l_2=\dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2_2}.

Найдём разность длин маятников:

Δl=l2l1.\Delta l = l_2-l_1.

Подставим выражения длин маятников:

Δl=gt24π2N22gt24π2N12;\Delta l = \dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2_2}-\dfrac{gt^2}{4\pi^2N_1^2};

Δl=gt24π2(1N221N12);\Delta l = \dfrac{gt^2}{4\pi^2}\left(\dfrac{1}{N^2_2}-\dfrac{1}{N^2_1}\right);

Δl=gt24π2N12N22N12N22.\Delta l = \dfrac{gt^2}{4\pi^2}\dfrac{N^2_1-N^2_2}{N^2_1N^2_2}.

Найдём квадрат времени, в течение которого проводилось вычисления количества колебаний:

l2=2020.1202162=0.28м=28см.l_2=\dfrac{20^2\cdot 0.1}{20^2-16^2}=0.28\,м=28\,см.

Ответ: l2=28см.l_2=28\,см.