4. Груз, подвешенный к пружине, вызывает ее удлинение на величину Δl. Определите Δl пружины, если циклическая частота вертикальных колебаний такой системы ω = 10 рад/с.

Дано:

ω=10радс.\omega=10\dfrac{рад}{с}.

Найти:

Δl?\Delta l -?

Решение:

Зададим систему отсчёта. Ось xx направим вертикально вниз. Запишем условие равновесия груза подвешенного на пружине:

Fупр+mg=0.\overset{\rightarrow}{F}_{упр}+m\overset{\rightarrow}{g}=0.

Спроектируем векторы сил на ось x:x:

Fупр+mg=0.-F_{упр}+mg=0.

Fупр=mg,F_{упр}=mg,

где Fупр=kΔlF_{упр}=k\Delta l — модуль силы упругости, kk — жёсткость пружины, Δl\Delta l — удлинение пружины после подвешивания груза, g=9.8мс2g=9.8\dfrac{м}{с^2} — ускорение свободного падения на поверхности Земли, mm — масса подвешенного груза.

После подстановки силы упругости выразим удлинение пружины:

kΔl=mg;k\Delta l=mg;

Δl=mkg.\Delta l =\dfrac{m}{k}g.

Период колебаний пружинного маятника вычислим по формуле:

T=2πmk.T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.

Циклическая частота колебаний связана с периодом соотношением:

ω=2πT.\omega=\dfrac{2\pi}{T}.

После подстановки периода в формулу циклической частоты получим:

ω=2π2πmk;\omega=\dfrac{2\pi}{2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}};

ω=1mk;\omega=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{m}{k}}};

mk=1ω;\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\dfrac{1}{\omega};

mk=1ω2.\dfrac{m}{k}=\dfrac{1}{\omega^2}.

Подставим последнее отношение в формулу удлинения пружины и получим:

Δl=gω2.\Delta l=\dfrac{g}{\omega^2}.

Подставим численные значения физических величин и вычислим удлинение пружины под действием груза:

Δl=9.8102=0.098м=9.8см10см.\Delta l=\dfrac{9.8}{10^2}=0.098\,м=9.8\,см\approx 10\,см.

Ответ: Δl=10см.\Delta l = 10\,см.