90. Имеется пирамида RMNOP, все рёбра которой равны друг другу. Сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через вершину R и прямую NP, является треугольник RNP. Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R.

Решение:

Пусть RMNOPRMNOP — пирамида, все рёбра которой равны друг другу.

Предположим, каждое ребро равно a.a.

Рассмотрим треугольник NRP:NRP:

NR=RP=a;NR=RP=a;

MNOPMNOP — квадрат, NP=a2,NP=a\sqrt{2}, значит треугольник NRPNRP — прямоугольный.

По условию NO=RO=OP=RNO=RO=OP=R (радиус описанной окружности).

R=a22;R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};

a=2R2=R2;a=\dfrac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2};

Sбок.гр.=a234=2R234=R232;S_{бок. гр.}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2R^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2};

Sбок=4R232=2R23.S_{бок}=4\cdot \dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}=2R^2\sqrt{3}.

Ответ: Sбок=2R23.S_{бок}=2R^2\sqrt{3}.