86. Точка A — середина бокового ребра KE правильной четырёхугольной пирамиды KCDEF, все рёбра которой равны друг другу. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DF и точку A. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что площадь этого сечения равна S.

Решение:

KCDEFKCDEF — правильная пирамида с равными рёбрами, AK=AE,DAFAK=AE, \triangle DAF — сечение, SDAF=S.S_{DAF}=S.

Пусть ребро пирамиды равно a.a. Найдём SDAF.S_{DAF}.

AD=AF=a32AD=AF=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} — высота правильного треугольника, DF=a2DF=a\sqrt{2} — диагональ квадрата.

AO=(a32)2(a22)2=a2;AO=\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{a}{2};

SDAF=12DFOA=12a2a2=14a22=SS_{DAF}=\dfrac{1}{2}\cdot DF\cdot OA=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot \dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{2}=S по условии задачи, откуда

a2=4S2=2S2.a^2=\dfrac{4S}{\sqrt{2}}=2S\cdot \sqrt{2}.

Sполн=Sосн+4Sбок.грани=a2+4a234=a2(1+3)=2S2(1+3)=2S(2+6).S_{полн}=S_{осн}+4S_{бок. грани}=a^2+4\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\left( 1+\sqrt{3}\right)=2S\sqrt{2}\left( 1+\sqrt{3}\right)=2S\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).

Ответ: Sполн=2S(2+6).S_{полн}=2S\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).