83. Дана правильная призма XYZX1Y1Z1, все рёбра которой равны друг другу. Найдите площадь сечения призмы плоскостью XY1Z1, учитывая, что полная поверхность призмы равна S.

Решение:

XYZX1Y1Z1XYZX_1Y_1Z_1 — правильная пирамида, XY=YY1,Y1XZ1XY=YY_1, Y_1XZ_1 — сечение.

Sполн=S.S_{полн}=S.

Предположим, ребро призмы равно a,a, тогда

Sполн=2Sосн+Sбок;S_{полн}=2S_{осн}+S_{бок};

S=Sполн=2a234+3a2=2a2(3+6)4;S=S_{полн}=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{4}+3a^2=\dfrac{2a^2\left( \sqrt{3}+6\right)}{4};

a2=4S2(3+6)a^2=\dfrac{4S}{2\left( \sqrt{3}+6\right)} (Выразим площадь сечения.)

Треугольник Y1XZ1Y_1XZ_1 — равнобедренный, OY1=a2;XY1=a2;OY_1=\dfrac{a}{2}; XY_1=a\sqrt{2};

высота OX=2a2a24=a72;OX=\sqrt{2a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2};

Sсеч.=12aa72=a274.S_{сеч.}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{a\sqrt{7}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{7}}{4}.

Подставим формулу a2a^2 в уравнение:

Sсеч.=4S742(3+6)=S72(3+6).S_{сеч.}=\dfrac{4S\cdot \sqrt{7}}{4\cdot 2\left(\sqrt{3}+6\right)}=\dfrac{S\sqrt{7}}{2\left(\sqrt{3}+6\right)}.

Ответ: Sсеч.=S72(3+6).S_{сеч.}=\dfrac{S\sqrt{7}}{2\left(\sqrt{3}+6\right)}.