74. Ребро основания правильной треугольной пирамиды и её боковое ребро соответственно равны k и l. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две вершины основания и середину бокового ребра.

Решение:

Пусть SABCSABC — правильная пирамида, AC=AB=BC=k;SA=SB=SC=l,AQBAC=AB=BC=k; SA=SB=SC=l, \triangle AQB — сечение SQ=QC,AQ=QB.SQ=QC, AQ=QB.

SAQB=12ABQR.S_{AQB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot QR.

Рассмотрим треугольник SQB.SQB. Так как QQ — середина SC,SC, то SQ=12SC=12l=l2.SQ=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}l=\dfrac{l}{2}.

По теореме косинусов

QB2=QS2+SB22QSSBcosCSB=l24+l22l2l2l2k22l2=5l242l2k22=5l242(2l2k2)4=5l24l2+2k24=l2+2k24;QB^2=QS^2+SB^2-2\cdot QS\cdot SB\cos{\angle CSB}=\dfrac{l^2}{4}+l^2-2\cdot \dfrac{l}{2}\cdot l\cdot \dfrac{2l^2-k^2}{2l^2}=\dfrac{5l^2}{4}-\dfrac{2l^2-k^2}{2}=\dfrac{5l^2}{4}-\dfrac{2\left(2l^2-k^2\right)}{4}=\dfrac{5l^2-4l^2+2k^2}{4}=\dfrac{l^2+2k^2}{4};

Высота сечения QRQR из прямоугольного треугольника QRB:QR2=QB2BR2QRB: QR^2=QB^2-BR^2 (по теореме Пифагора).

QR2=l2+2k24k24=l2+k24;QR^2=\dfrac{l^2+2k^2}{4}-\dfrac{k^2}{4}=\dfrac{l^2+k^2}{4};

QR=l2+k22.QR=\dfrac{\sqrt{l^2+k^2}}{2}.

SAQB=12kl2+k22=kl2+k24.S_{AQB}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot \dfrac{\sqrt{l^2+k^2}}{2}=\dfrac{k\sqrt{l^2+k^2}}{4}.

Ответ: SAQB=kl2+k24.S_{AQB}=\dfrac{k\sqrt{l^2+k^2}}{4}.