73. Сторона основания правильной треугольной призмы CDEC1D1E1 равна 12 см, а её боковое ребро — 6 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которой принадлежит сторона основания и противоположная верши на второго основания.

Решение:

Пусть CDEC1D1E1CDEC_1D_1E_1 — правильная треугольная призма, C1E1=12C_1E_1=12 см, DD1=6DD_1=6 см.

Находим площадь сечения C1DE1:C_1DE_1:

Треугольник C1DEC_1DE — равнобедренный, у которого DODO — высота, C1E1C_1E_1 — основание.

Т.к. призма правильная, то по теореме Пифагора DC12=DD12+C1D12.DC_1^2=DD_1^2+C_1D_1^2.

DC1=DD12+C1D12;DC_1=\sqrt{DD_1^2+C_1D_1^2};

DC1=62+122=36+144=180.DC_1=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}.

Из прямоугольного треугольника DOC1DOC_1 по теореме Пифагора находим DO:DO:

DO=DC12OC1;DO=\sqrt{DC_1^2-OC_1};

Т.к. DODO — высота равнобедренного треугольника C1DE,C_1DE, то она делит сторону основания пополам, следовательно OC1=12C1E1;OC_1=\dfrac{1}{2}C_1E_1;

OC1=1212=6(см).OC_1=\dfrac{1}{2}\cdot 12=6\,(см).

DO=180262=18036=144=12(см).DO=\sqrt{\sqrt{180}^2-6^2}=\sqrt{180-36}=\sqrt{144}=12\,(см).

SC1DE1=12DOC1E1=121212=72(см2).S_{C_1DE_1}=\dfrac{1}{2}\cdot DO\cdot C_1E_1=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 12=72\,(см^2).

Ответ: SC1DE1=72см2.S_{C_1DE_1}=72\,см^2.