69. Изобразите прямоугольный параллелепипед TPQRT1P1Q1R1 и постройте его сечение плоскостью, которая проходит через прямую T1Q1 и вершину R. Найдите площадь этого сечения, учитывая, что рёбра RT и RQ равны друг ивдругу и равны l, а радиус окружности, описанной около четырёхугольника RQQ1R1, равен a.

Решение:

T1RQ1T_1RQ_1 — сечение параллелепипеда плоскостью T1RQ1;T_1RQ_1; RT=RQ=l,TPQRRT=RQ=l, TPQR — квадрат; боковые грани — равные прямоугольники с диагоналями, равными 2a.2a.

По теореме Пифагора T1Q12=T1R12+R1Q12;T_1Q_1^2=T_1R_1^2+R_1Q_1^2;

T1Q1=T1R12+R1Q12=l2+l2=2l2=l2.T_1Q_1=\sqrt{T_1R_1^2+R_1Q_1^2}=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=l\sqrt{2}.

Так как RRQQ1R1=a,R_{RQQ_1R_1}=a, то RQ=2a.RQ=2a.

Найдём высоту по теореме Пифагора:

RQ12=RO2+OQ12;RQ_1^2=RO^2+OQ_1^2;

RO=RQ12OQ2=(2a)2(l22)2=4a22l24=4a2l22.RO=\sqrt{RQ_1^2-OQ^2}=\sqrt{\left( 2a\right)^2-\left( \dfrac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{4a^2-\dfrac{2l^2}{4}}=\sqrt{4a^2-\dfrac{l^2}{2}}.

RO=4a2l22.RO=\sqrt{4a^2-\dfrac{l^2}{2}}.

Сторона основания треугольника T1Q1=l2.T_1Q_1=l\sqrt{2}.

ST1RQ1=12T1Q1RO=12l24a2l22=l2a2l24.S_{T_1RQ_1}=\dfrac{1}{2}\cdot T_1Q_1\cdot RO=\dfrac{1}{2}\cdot l\sqrt{2}\cdot \sqrt{4a^2-\dfrac{l^2}{2}}=l\sqrt{2a^2-\dfrac{l^2}{4}}.

Ответ: ST1RQ1=l2a2l24.S_{T_1RQ_1}=l\sqrt{2a^2-\dfrac{l^2}{4}}.