67. На рисунке 117 изображена правильная пирамида RSXY, у которой грань основания равна боковой грани. На её рёбрах RS и RY отмечены их середины A и B. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью ABX. Докажите, что треугольник ABX является равно бедренным, и найдите его периметр и площадь, учитывая, что ребро пирамиды равно a.

Решение:

RSXYRSXY — правильная пирамида.

Т.к. грань основания равна боковой грани, то все грани — правильные равные треугольники.

Треугольник AXBAXB — сечение пирамиды плоскостью ABX,AX=BXABX, AX=BX — высоты равных правильных треугольников, значит треугольник AXBAXB — равнобедренный.

Т.к. рёбра пирамиды равны a,a, то AX=BX=a32AX=BX=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} и AB=a2,AB=\dfrac{a}{2}, значит

PAXB=23a2+a2=a2(23+1).P_{AXB}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}a}{2}+\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}\left( 2\sqrt{3}+1\right).

Найдём высоту XOXO этого треугольника по теореме Пифагора:

XO=(3a2)2(a4)2=3a24a216=11a216=a411.XO=\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2-\left( \dfrac{a}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}-\dfrac{a^2}{16}}=\sqrt{11a^2}{16}=\dfrac{a}{4}\cdot \sqrt{11}.

SAXB=12a2a411=a21116.S_{AXB}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{a}{4}\cdot \sqrt{11}=\dfrac{a^2\sqrt{11}}{16}.

Ответ: a2(23+1);\dfrac{a}{2}\left( 2\sqrt{3}+1\right); a21116.\dfrac{a^2\sqrt{11}}{16}.