66. Постройте сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, AD. Найдите площадь этого сечения, учитывая, что все рёбра этой пирамиды равны а.

Решение:

MNKMNK — сечение, ABCDABCD — правильная пирамида, каждое ребро которой равно a.a.

По свойству средней линии треугольника MN=12BD;NK=12CD;MK=12BD.MN=\dfrac{1}{2}BD; NK=\dfrac{1}{2}CD; MK=\dfrac{1}{2}BD.

Т.к. все рёбра пирамиды равны a,a, то и MN=NK=LM,MN=NK=LM, а треугольник MNKMNK — равносторонний.

SMNK=(a2)234=a2216.S_{MNK}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{2}}{16}.

SMNK=(a2)234=a2316.S_{MNK}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{16}.

Ответ: SMNK=a2316.S_{MNK}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{16}.