64. Изобразите куб MNOPM1N1O1P1 и отметьте середины A, B и C рёбер NM, NO и NN1. Используя полученный рисунок:

а) постройте сечение куба плоскостью ABC;ABC;

б) докажите, что треугольник ABCABC правильный;

в) найдите площадь треугольника ABC,ABC, приняв ребро куба равным 1 м.

Решение:

а) ABCABC — сечение.

б) т.к. ANB=ANC=BNC,\triangle ANB = \triangle ANC =\triangle BNC, (равные прямоугольные треугольники) то их гипотенузы AB,BCAB, BC и ACAC тоже равны, значит треугольник ABCABC — правильный.

в) По теореме Пифагора AB2=AN2+NB2;AB^2=AN^2+NB^2;

AB2=(12)2+(12)2=12;AB^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2};

AB=12=22.AB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

S=AB234=1324=38(м2).S=\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1\cdot\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}\,(м^2).

Ответ: S=38м2.S=\dfrac{\sqrt{3}}{8}\,м^2.