58. Точки A и B делят рёбра QD и QE правильной четырёхугольной пирамиды QCDEF со всеми равными рёбрами в отношении 5 : 7, если считать от вершины Q. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что длина ломаной ABQFA равна 70 см.

Решение:

Пусть QCDEFQCDEF — правильная пирамида со всеми равными рёбрами, QA:AD=QB:BE=5:7,QA:AD=QB:BE=5:7, длина ломаной ABQFAABQFA равна 70 см.

Обозначим длину ребра через a.a.

Рассмотрим треугольник AQF,AQF, где AQF=90°.\angle AQF=90°.

AQ=512QD=512a;AQ=\dfrac{5}{12}QD=\dfrac{5}{12}a;

По теореме Пифагора AQ2+FQ2=AF2;AQ^2+FQ^2=AF^2;

AF=AQ2+QF2=(1512a)2+a2=25144a2+a2=169144a2=1312a.AF=\sqrt{AQ^2+QF^2}=\sqrt{\left( \dfrac{15}{12}a\right)^2+a^2}=\sqrt{\dfrac{25}{144}a^2+a^2}=\sqrt{\dfrac{169}{144}a^2}=\dfrac{13}{12}a.

Составим уравнение ломаной:

ABQFA=512a+512a+a+1312a=3512a;ABQFA=\dfrac{5}{12}a+\dfrac{5}{12}a+a+\dfrac{13}{12}a=\dfrac{35}{12}a;

35a12=70;a=24см.\dfrac{35a}{12}=70; a=24\,см.

Sполн=Sбок+Sосн=4a234+a2=5763+576=576(3+1)см2.S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}=\dfrac{4a^2\sqrt{3}}{4}+a^2=576\sqrt{3}+576=576\left(\sqrt{3}+1\right)\,см^2.

Ответ: Sполн=576(3+1)см2.S_{полн}=576\left(\sqrt{3}+1\right)\,см^2.