51. Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 12 см^2 . Найдите диагональ боковой грани, учитывая, что диагональ основания равна √2 см.

Дано:

ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед, ABCDABCD — квадрат, Sбок=12см2,S_{бок}=12\,см^2, BD=2см.BD=\sqrt{2}\,см.

Найти:

A1DA_1D — ?

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABDABD с гипотенузой BD=2BD=\sqrt{2}. Его катеты равны 11 см: AD=AB=1см.AD=AB=1\, см.

2) SAA1D1D=Sбок4;S_{AA_1D_1D}=\dfrac{S_{бок}}{4};

Площадь одной боковой грани S=3см2,S=3\, см^2, следовательно боковая грань (прямоугольник) имеет размеры 11 см и 33 см:

SAA1D1D=ADAA1;S_{AA_1D_1D}=AD\cdot AA_1; AA1=SAA1D1DAD;AA_1=\dfrac{S_{AA_1D_1D}}{AD};

AA1=31=3(см).AA_1=\dfrac{3}{1}=3\,(см).

3) A1DA_1D — гипотенуза треугольника A1AD,A_1AD, значит A1D2=AA12+AD2;A_1D^2=AA_1^2+AD^2; A1D=AA12+AD2;A_1D=\sqrt{AA_1^2+AD^2};

A1D=32+12=9+1=10(см).A_1D=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\,(см).

A1DA_1D — диагональ боковой грани параллелепипеда.

Ответ: 10см.\sqrt{10}\,см.