32. Докажите, что любая прямая, которая:

а) проходит через вершину A треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямую CD, принадлежит плоскости ACD;

Решение:

Пусть a=AX,a=AX, т.к. A(ACD)A\in(ACD) и X(ABC),X=AXCD,X\in (ABC), X=AX\cap CD, то по Аксиоме 2 AX(ACD)AX\subset(ACD), т.е. a(ACD).a\subset(ACD).

Подробно. Пусть a=AX;a=AX; т.к. AA и XX принадлежат ACDACD и AXAX пересекает CDCD в точке X,X, то по Аксиоме 2 (если две точки прямой лежат в плоскости, то каждая точка этой прямой принадлежит плоскости) AXAX принадлежит ACD,ACD, значит и aa принадлежит плоскости ACD.ACD.

б) не проходит через вершину B треугольной пирамиды ABCD и пересекает как прямую BC, так и прямую BD, принадлежит плоскости BCD.

Решение:

Пусть a=XY:Ba;X=aBC;Y=aBD,a=XY: B\notin a; X=a\cap BC; Y=a\cap BD, т.к XBCBCD,YBDBCD,X\in BC\subset BCD, Y\in BD\subset BCD, то по Аксиоме 2 a(BCD).a\subset (BCD).

Подробно. Пусть a=XY,a=XY, тогда BB не принадлежит a;a; XX является точкой пересечения прямых aa и BC;BC; YY является точкой пересечения прямых aa и BD.BD. Т.к. XX принадлежит BC,BC, а BCBC принадлежит BCD,BCD, YY принадлежит BD,BD, а BDBD принадлежит BCD,BCD, то по Аксиоме 2 aa принадлежит плоскости BCD.BCD.