17. Основанием пирамиды REFGH является параллелограмм EFGH со сторонами 10 см, 18 см и площадью 90 см2 . Отрезок, соединяющий Рис. 47 вершину R пирамиды с точкой O пересечения диагоналей основания, перпендикулярен этим диагоналям и равен 6 см. Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть REFGHREFGH — пирамида, основание EFGHEFGH — параллелограмм, EF=10EF=10 см, EH=18EH=18 см, SEFGH=90S_{EFGH}=90 см, EGFH=O;EG\cap FH=O; ROEG;RO\perp EG; ROFH,RO=6RO\perp FH, RO=6 см.

А) Так как Sпарал.=absinα,S_{парал.}=a\cdot b \cdot \sin{\alpha}, то 1018sinα=90,10\cdot 18 \cdot \sin{\alpha}=90, значит sinα=12.\sin{\alpha}=\dfrac{1}{2}.

Имеем FEH=30°;EFG=150°.\angle{FEH}=30°; \angle{EFG}=150°.

По теореме косинусов FH2=100+3242101832=4241803=4(106453);FH^2=100+324-2\cdot 10\cdot 18\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=424-180\sqrt{3}=4(106-45\sqrt{3});

FH=2106453;OH=106453.FH=2\sqrt{106-45\sqrt{3}}; OH=\sqrt{106-45\sqrt{3}}.

По теореме Пифагора RH2=RO2+OH2;RH^2=RO^2+OH^2;

FR=RH=106453+36=142453FR=RH=\sqrt{106-45\sqrt{3}+36}=\sqrt{142-45\sqrt{3}} см.

Аналогично найдём EG2=100+324+2101832=4(106+453);EG^2=100+324+2\cdot 10\cdot 18\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=4(106+45\sqrt{3});

Б) Для нахождения боковой поверхности найдём высоты смежных боковых граней.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ROK,RO=6ROK, RO=6 см, OK=12FF1;FF1=12EF=5OK=\dfrac{1}{2}FF_1; FF_1=\dfrac{1}{2}EF=5 см (по теореме о катете против угла в 30°), значит высота треугольника ERHERH: RK=RO2+OK2=36+254=1694=132RK=\sqrt{RO^2+OK^2}=\sqrt{36+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{169}{4}}=\dfrac{13}{2} см.

Тогда SERH=1218132=1172S_{ERH}=\dfrac{1}{2}\cdot 18\cdot \dfrac{13}{2}=\dfrac{117}{2} см2;^2;

Аналогично находим высоты и площадь треугольника ERF:RL=36+314=2254=152;ERF: RL=\sqrt{36+\dfrac{31}{4}}=\sqrt{\dfrac{225}{4}}=\dfrac{15}{2};

SERK=1210152=752S_{ERK}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot \dfrac{15}{2}=\dfrac{75}{2} см2.^2.

Учитывая равенство площадей противоположных боковых граней, получим Sбок=117+75=192S_{бок}=117+75=192 см2.^2.

В) Sполн=Sбок+SоснS_{полн}=S_{бок}+S_{осн}.

Sосн=EFEHsinFEH=101812=90S_{осн}=EF\cdot EH\cdot \sin{\angle{FEH}}=10\cdot 18 \cdot \dfrac{1}{2}=90 см2.^2.

Sполн=192+90=282S_{полн}=192+90=282 см2.^2.

Ответ: а) 142453\sqrt{142-45\sqrt{3}} см; 142+453\sqrt{142+45\sqrt{3}} см; б) 192192 см2;^2; в) 282282 см2.^2.