16. Основанием пирамиды QABCD является ромб ABCD со стороной, равной 10 см, одна из диагоналей которого равна 16 см. Отрезок, соединяющий вершину Q пирамиды с точкой O пересечения диагоналей основания, перпендикулярен этим диагоналям и равен 14 см (рис. 47). Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть QABCDQABCD — пирамида, ABCDABCD — ромб, AB=10AB=10 см, диагональ основания AC=16AC=16 см, QO=14QO=14 см, OO — точка пересечения диагоналей основания пирамиды, QOACQO\perp AC и QOBD.QO\perp BD. Найдём:

а) боковые рёбра пирамиды. Находим другую диагональ ромба используя равенство d12+d22=2a2+2b2.d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2.

Тогда BD2=4AB2AC2;BD^2=4AB^2-AC^2;

BD2=400256=144;BD=12BD^2=400-256=144; BD=12 см.

Для нахождения рёбер пирамиды воспользуемся прямоугольными треугольниками AOQAOQ, BOQBOQ и теоремой Пифагора, а также свойством диагоналей параллелограмма (AO=OC;BD=ODAO=OC; BD=OD).

Боковое ребро AQ=CQ=82+142=260=265AQ=CQ=\sqrt{8^2+14^2}=\sqrt{260}=2\sqrt{65} см.

Боковое ребро BQ=QD=62+142=232=258BQ=QD=\sqrt{6^2+14^2}=\sqrt{232}=2\sqrt{58} см.

Б) Боковую поверхность пирамиды составляют четыре равных треугольника, для нахождения площади боковой грани нужно найти высоту QFQF треугольника DQC.DQC.

Рассмотрим треугольник QOFQOF: QOF=90°;QO=14\angle{QOF}=90°; QO=14 см, OF=rOF=r — радиус вписанной в ромб окружности.

По формуле S=prS=p\cdot r находим pp — полупириметр ромба:

r=Sp,p=402=20r=\dfrac{S}{p}, p=\dfrac{40}{2}=20 см; S=d1d22=16122=96S=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}=\dfrac{16\cdot 12}{2}=96 см2.^2.

r=9620=4.8r=\dfrac{96}{20}=4.8 см. OF=r=4.8OF=r=4.8 см.

По теореме Пифагора находим QF=QO+OF2=196+23.04=219.04=14.8QF=\sqrt{QO^+OF^2}=\sqrt{196+23.04}=\sqrt{219.04}=14.8 см.

Sбок=4SDQC;S_{бок}=4\cdot S_{DQC};

SDQC=121014.8=74S_{DQC}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 14.8=74 см.

Sбок=296S_{бок}=296 см.

Ответ: а) 2582\sqrt{58} см; 2652\sqrt{65} см; б) 296296 см2.^2.