14. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — √69 см. Найдите:

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть SABCDEFSABCDEF — правильная шестиугольная пирамида, сторона основания AB=10AB=10 см, OO — центр основания, значит OO — центр описанной и вписанной окружности правильного шестиугольника, SO=69SO=\sqrt{69} см, SOOK:SOOA,SO\perp OK: SO\perp OA, сторона основания AB=10AB=10 см. Найдём:

а) боковое ребро SASA и апофему SK.SK.

Т.к. треугольник AOBAOB правильный, то OA=10OA=10 см, OK=1032=53OK=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} см, по теореме Пифагора SA=SO2+OA2=69+100=13SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{69+100}=13 см; апофема SK=AO2+OK2=69+75=144=12SK=\sqrt{AO^2+OK^2}=\sqrt{69+75}=\sqrt{144}=12 см.

Б) Боковую поверхность пирамиды находим по формуле Sбок=6SASB;S_{бок}=6\cdot S_{ASB};

SASB=121012=60S_{ASB}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60 см2^2;

Sбок=660=360S_{бок}=6 \cdot 60=360 см2.^2.

В) Полную поверхность пирамиды по формуле Sполн=Sбок+Sосн;S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};

Sосн=3a232=310032=1503S_{осн}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot 100\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3} см2;^2;

Sполн=360+1503=30(12+53)S_{полн}=360+150\sqrt{3}=30(12+5\sqrt{3}) см2.^2.

Ответ: а) 1313 см; 1212 см; б) 360360 см2^2; в) 30(12+53)30(12+5\sqrt{3}) см2.^2.