11. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды MABC равна 10 3 см, а отрезок, соединяющий вершину M пирамиды с центром O основания, — 12 см (рис. 46). Найдите:

Решение:

MABCMABC — правильная пирамида, AB=BC=AC=103AB=BC=AC=10\sqrt{3} см, OO — центр основания, MO=12MO=12 см. Найдём:

а) апофему пирамиды MDMD: OO — центр вписанной окружности в треугольник ABCABC, значит r=OD=13AD,r=OD=\dfrac{1}{3}AD, ADAD — высота основания. По формуле h=a32h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} найдём AD=10332=15AD=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=15 см, OD=5OD=5 см.

Рассмотрим треугольник MOD:MOD: MOD=90°,MO=12\angle{MOD}=90°, MO=12 см, OD=5OD=5 см, по теореме Пифагора MD=144+25=13MD=\sqrt{144+25}=13 см.

б) боковую поверхность пирамиды.

Т.к. MABCMABC — правильная пирамида, то Sбок=12Pоснh,hS_{бок}=\dfrac{1}{2}P_{осн}\cdot h, h — апофема.

Sбок=12310313=1953S_{бок}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot10\sqrt{3}\cdot13=195\sqrt{3} см2^2.

в) полную поверхность пирамиды.

Sполн=Sбок+Sосн;S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};

SABC=AB234=(103)234=30034=753S_{ABC}=\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(10\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{300\sqrt{3}}{4}=75\sqrt{3} см2^2.

Sполн=1953+753=2703S_{полн}=195\sqrt{3}+75\sqrt{3}=270\sqrt{3} см2^2.

Ответ: 1313 см; 1953195\sqrt{3} см2^2; 2703270\sqrt{3} см2^2.